Программа Pre MSc Foundation по прикладной математике

Базовая программа подготовки к магистратуре (PMFP) по прикладной математике направлена на унификацию портфелей компетенций будущих студентов двух магистерских программ по математическому моделированию и математической инженерии в University Of L'Aquila , которые включают программу Erasmus Mundus "InterMaths - междисциплинарная математика" , совместная магистерская программа «MathMods» и программа двойного диплома «InterMaths».

В зависимости от программ бакалавриата студента и системы образования в стране его происхождения студенты, обучающиеся по этим трем программам, могут обладать очень разнообразным набором навыков по дисциплинам, которые характеризуют эти магистерские программы. Программа PMFP по прикладной математике предназначена для решения этой проблемы, охватывая конкретные компетенции как в теоретической математике (реальный анализ и линейная алгебра), так и в компьютерном программировании. Что касается теоретической математики, основная цель PMFP - преодолеть разрыв между «математическим расчетом» и «реальным анализом» - типичной проблемой, которая довольно часто возникает у будущих студентов магистратуры с очень «прикладным» опытом.

PMFM будет включать в себя самые основные темы реального анализа, позволяющие студентам иметь дело с исчислением бесконечно малых с точки зрения строгого «реального анализа» (включая использование строгих математических доказательств). С другой стороны, учащимся с сильным «теоретическим» образованием иногда не хватает базовых навыков программирования и вычислений. Следовательно, PMFP обеспечивает базовое введение в компьютерное программирование и, в частности, в вычислительную среду «MATLAB», которая широко используется в курсах численного анализа программ MSc, упомянутых выше.

Модули

Часть 1

• Ускоренный курс линейной алгебры

Линейные пространства, линейная зависимость, основы линейного пространства, размерность линейного пространства, линейные подпространства.

Матрицы, основные операции с матрицами, изменение координат, определители, ранг. Краткое изложение линейных систем и исключения Гаусса.

Диагонализация квадратов матриц, собственных значений, собственных векторов. Внутренние произведения, билинейные и квадратичные формы.

• Дифференциальные уравнения: основы

Общее введение в дифференциальные уравнения, задачи Коши.

Существование и единственность решений. Теоремы Пеано и Коши. Примеры, кисть Пеано.

Введение в линейные дифференциальные уравнения. Примеры.

Краткий очерк качественного анализа задач Коши. Сравнение решений, максимальные решения, глобальное существование решений, разрушение решений. Примеры.

• Реальный анализ: основы

Логика высказываний. Исчисление высказываний.

Множества, операции с множествами, отношения, функции. Количество множеств, счетных множеств, бесчисленных множеств. Элементарные наборы чисел. Целые и рациональные числа. Принцип индукции.

Подробнее о функциях: инъективные и сюръективные функции, обратимые функции, изображение и прообраз.

Набор действительных чисел. Аксиома разделения, сокращения Дедекинда. Инфимум и супремум. Архимедова собственность. Комплексные числа: декартова и тригонометрическая форма, основные свойства, степени, комплексные корни, основная теорема алгебры.

Последовательности действительных чисел: монотонные последовательности, сходимость последовательности, подпоследовательности, limsup и liminf последовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса.

Введение в функции действительных чисел. Элементарные функции: экспоненциальная и логарифмическая функция, тригонометрические функции, иррациональные функции. Монотонные функции.

Топология действительных чисел: интервалы, полуоси, открытые множества, замкнутые множества. Топология евклидова пространства Rn: шары, открытые и замкнутые множества. Компактные множества в евклидовом пространстве.

Часть 2

• Введение в MATLAB

Среда MATLAB, Основы компьютерного программирования, Переменные и константы, операторы и простые вычисления, Формулы и функции. Наборы инструментов MATLAB.

Обзор матриц и линейной алгебры, Векторы и матрицы в MATLAB, Матричные операции и функции в MATLAB.

Алгоритмы и структуры, сценарии и функции MATLAB (m-файлы), простые последовательные алгоритмы, управляющие структуры (если ... то, циклы).

Чтение и запись данных, обработка файлов, персонализированные функции, графические функции MATLAB. Интерактивные практические занятия.

• Введение в программирование

Алгоритмы, программы и языки программирования.

Среда обучения языку программирования Python и Turtle Graphics. Команды и последовательности команд. Написание и выполнение программы.

Определенная итерация. Процедуры: определение и вызов функций Python. Процедуры с параметрами.

Переменные и объекты. Основные типы данных в Python. Выражения.

Выбор, рекурсия и неопределенная итерация.

Базовые структуры данных в Python: кортежи, строки, списки, словари.